Potencias: ¿Por qué un número elevado a 0 es igual a 1?

Potencia0En Matemáticas Digitales llevábamos tiempo con ganas de explicar esta afirmación: ¿Por qué cuándo se eleva cualquier número a 0 el resultado es 1?

La explicación es muy sencillita, de hecho la vamos a ver ahora, pero este humilde bloguero le tiene un cariño muy especial a esta pequeña demostración.

Cuando comencé la carrera de matemáticas, hace ya 7 años, en la Universidad de Sevilla teníamos el denominado “Curso 0”. En él, se repasaban y enseñaban los conceptos matemáticos básicos que necesitaba cualquier alumno que quería afrontar con éxito el reto de llegar a ser matemático varios años después. Este pequeño curso, de aproximadamente un mes de duración, se realizaba justo antes de comenzar el curso regular y era realmente útil.

Por desgracia, todo esto lo contamos en pasado debido a que con la entrada de los nuevos planes de estudio, el Curso 0 se ha perdido. Una verdadera lástima.

¿Y qué tiene que ver todo esto con el tema que tratamos hoy? Muy sencillo. En una de las primeras clases del Curso 0 el profesor nos dejó mandado como tarea demostrar por qué un número elevado a 0 es igual a 1, y esa fue mi primera demostración en matemáticas. Fue la primera vez que sentí ese placer especial de decir “He llegado a un razonamiento que es irrefutable, y que matemáticamente nadie puede negar”. Esa sensación especial son las verdaderas matemáticas.

Pero basta de batallitas. Vamos a atacar nuestra afirmación. Si os parece, vamos a decir que es un Lema (teorema pequeñito) y lo vamos a enunciar de manera un poco más rigurosa, aunque sin utilizar mucho lenguaje matemático para que todos lo leamos bien.

Lema: Todo número real elevado a 0, excepto el propio 0, es igual a 1.

Demostraciónec5

 

Como se puede observar, excluimos el 0, entre otros motivos, porque si en la demostración tomamos x=0 y a=1, habría un paso en el que dividiríamos entre 0. Es decir, en ese caso, la operación sería equivalente a dividir entre 0, y eso ya sabemos que es una operación prohibida en matemáticas. Por lo tanto, cero elevado a cero es una indeterminación, es decir, no sabemos qué ocurre y por lo tanto no puede ser una operación definida.

Yo quizás llegué a esta conclusión algo mayor, ya en edad universitaria, pero en mi defensa he de decir que nunca tuve un profesor en el instituto que me hiciera creer en la belleza de encontrar los por qué en matemáticas. Por eso, animo a aquellos profesores y futuros profesores de secundaria, que incentivéis a vuestros alumnos para hacer estas pequeñas demostraciones porque si ello sirve para que al menos un alumno vea la belleza que se esconde tras resolver un problema así, entonces ya habréis triunfado como docentes.

@JcVirin

 

Corolario: Este post se lo quiero dedicar a José Luis Ríos por darme la idea. Nunca dejes de buscar ;-).

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50 Comentarios

  1. Antonio

    10 octubre, 2013 a las 17:02

    Una visión que no estaría de más comentar, sería la siguiente…

    http://eltopologico.blogspot.com.ar/2013/07/un-comentario-sobre-cero-la-cero.html

    En cuyo caso la ec. 5 no sería la explicación, sino más bien, la conjuntista.

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    • katthe

      13 mayo, 2015 a las 20:09

      Es muy difícil pero a la vez me gusta la materia

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      • #happy

        6 junio, 2015 a las 17:00

        Disculpame, pero es muy sencillo esto de las potencias

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  2. Antonio

    10 octubre, 2013 a las 17:06

    Teniéndose en cuenta este video bastante completo, a la par de la explicación conjuntista.

    Dependería del sistema que se adopte…

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  3. Antonio

    10 octubre, 2013 a las 17:21

    Esta entrada resulta interesante

    http://gaussianos.com/video-problems-zero/

    Wolfram da por indeterminado http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%5E0

    La ec. 5 es aplicable con a no igual a cero.

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    • Jose Carlos Gamez

      10 octubre, 2013 a las 18:09

      Es verdad que es un tema algo controvertido, que puede dar lugar a diferentes puntos de vista. Pero lo que sí es cierto, es que 0^0 está considerado por la mayoría como un valor indeterminado.
      Te dejo el enlace de la Wikipedia, en el que se hace mención a este hecho 🙂
      http://es.wikipedia.org/wiki/Cero#Cero_en_la_potenciaci.C3.B3n

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      • Antonio

        10 octubre, 2013 a las 18:24

        Sí amigo.

        Cuando vi matemáticas discretas lo definían como 1, por no haber contradicción con el sistema usado. Cuando vi cálculo lo definían como indeterminado precisamente porque 0 elevado a la algo da cero si ese algo es un número distinto de cero; y algo elevado a la cero es 1 si es la base distinta de cero.

        Lo que he encontrado en las citas:

        vitutor: 0^0 es indeterminado pero su límite tiende a 1

        Topología y lógica: en teoría de conjuntos no hay contradicción con definirlo como 1, igual a 1.

        Luego entiendo que si optamos por una definición consistente con el sistema usado no habrá problema.

        Saludos!

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      • Antonio

        10 octubre, 2013 a las 18:30

        Este es el argumento de los defensores de 1, no conjuntistas

        http://www.youtube.com/watch?v=_fl7xbakvxs

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      • Antonio

        10 octubre, 2013 a las 18:39

        o de algunos de los que defienden el 1, porque otros se basan en este video de numberphile

        http://www.youtube.com/watch?v=BRRolKTlF6Q

        Por cierto, los dados del dibujo me han puesto a pensar, en estos días, que estaba leyendo sobre Laplace y los trés métodos… en probabilidades

        Saludos, y gracias por leer mis comentarios.

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        • Jose Carlos Gamez

          10 octubre, 2013 a las 19:20

          De nada Antonio. Tus comentarios son siempre bienvenidos 🙂

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          • Antonio

            10 octubre, 2013 a las 20:20

            Sí, amigo, muy amable…

            Fíjate unas cosas que continúo revisando…

            Sobre obtener el valor de 0^0 a través de la propiedad de la potencia con exponente una diferencia, recuerdo que las definiciones de elevar a la 1 y elevar a la 0, vienen antes de dicha propiedad, de modo que en dicho caso temo por una posibilidad de entrar en razonamiento circular.

            En lo que respecta a el valor de 0^0, por lo que he podido leer en las fuentes consultadas, yo diría que:

            En el cálculo se adopta que 0^0 es indeterminado sin caer en inconsistencias; mientras

            En la teoría de conjuntos se adopta que 0^0 es 1, sin caer en inconsistencias.

            Lo que no me convence es el video que dice darle el valor de 1 a 0^0 porque el límite de x^x tienda a 1 cuando x tienda a cero… porque ha sido necesario tomar un límite.

            Para 1/0 se obtiene una operación indefinida, si se toma el límite se sabe que tiende a +infinito cuando se llega a cero por la derecha y a -infinito cuando se llega a cero por la izquierda, pero se ha tomado un límite, el cual no existe porque no es igual por la izquierda que por la derecha, y además infinito no es un número sino un concepto.

            No así en un caso comentado donde 0.999…=1 y es una igualdad numérica no un límite que tiende a.

            De modo que estos dos artículos me dejan ver que el valor lo hayan por un límite, en cálculo, por lógica en teoría de conjuntos, pero es en principio un valor indeterminado cuando se sustituyen valores en una sucesión

            http://www.zurditorium.com/cero-elevado-a-cero-no-es-una-indeterminacion

            http://mathworld.wolfram.com/Power.html

          • Antonio

            11 octubre, 2013 a las 18:50

          • Jose Carlos Gamez

            12 octubre, 2013 a las 08:51

            Me parece que es un buen resumen de lo que has comentado aquí y en el artículo de mi admirado Gaussianos.
            Quizás Antonio, por el público objetivo de este blog, no vas a tener aquí tertulias matemáticas tan interesantes como la que he leído que has tenido en Gaussianos sobre este tema, pero se agradece que aportes tus conocimientos y buenos enlaces para quién esté interesado en profundizar más, tenga esa posibilidad.

          • Antonio

            12 octubre, 2013 a las 15:49

            Comprendo, José.

            ¡Más bien, gracias a usted por toda su receptividad!

  4. Antonio

    10 octubre, 2013 a las 18:10

    http://almargendefermat.wordpress.com/2009/12/27/%C2%BFcuanto-vale-0-elevado-a-0/

    Miren esto, solo por mencionar algo interesante y sin dejar de respetar la entrada del autor

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  5. Antonio

    10 octubre, 2013 a las 18:17

  6. Antonio

    10 octubre, 2013 a las 21:30

    Fíjense:

    1) Una axiomática que define la cuantificación universal sobre vacío
    http://piluky.lacoctelera.net/post/2006/04/16/-el-actual-rey-francia-es-calvo-

    2) Una que no lo hace
    http://plato.stanford.edu/entries/generalized-quantifiers/#univ
    Esto en principio no pareciera tener que ver con esta entrada del blog, pero ojo!

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  7. Antonio

    11 octubre, 2013 a las 22:09

    Sobre [latex]0^0[/latex] registrarse en este foro y leer este link permite leer interesantes comentarios

    http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70668.new#new

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  8. Rorro

    8 febrero, 2014 a las 18:46

    Otra forma es la de sustitucion del 0 por el -1 solo se hace fraccion y se simplifica “TODO ESO SIN QUITARSE LA VIDA HACIENDO TATAS OPERACIONES”

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  9. Alberto Sánchez

    26 abril, 2014 a las 18:54

    Buenos días,

    Cabe decir que soy físico (y no matemático)con el máster de profesor de matemáticas. Simplemente es para agradecerte que hayas creado esta web, porque estoy encontrando muchos materiales que sin lugar a dudas utilizaré en el aula de secundaria y bachiller (con la correspondiente citación).

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    • Jose Carlos Gámez

      26 abril, 2014 a las 21:52

      Muchísimas gracias Alberto. Para mí es un placer que este blog sirva de ayuda, de conocimiento o como simple entretenimiento. Y me hace especial ilusión que se utilicen en clases de secundaria. Seguro que en próximas generaciones el amor por las matemáticas será más universal.
      Un saludo 🙂

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  10. Patrick Ayala

    6 mayo, 2014 a las 20:25

    buen trabajo, excelente humanismo.

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  11. werner

    3 septiembre, 2014 a las 18:40

    no soy matematico y nunca e entendido como lo usan o abusan.
    El 0 me parece un numero incomprendido y por lo tanto a sido usado para demostrar o desmentir resultados que no somos capaces de comprender.
    Yo diria que es un numero la relatividad.

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  12. MarianoS.

    17 septiembre, 2014 a las 02:27

    Si se halla 0^0, podríamos deducir que 0^0/0^0 que es igual a a 1^0, lo que nos llevaría a deducir que en realidad 0^0=infinito… si estoy mal los invito a corregir mi comentario. Si estoy en lo correcto, debería de ser “todo número X (R = o >1), que se encuentre elevado a la potencia 0, da como resultado 1. Si X=0, entonces su resultado es Infinito”.

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    • Jose Carlos Gámez

      17 septiembre, 2014 a las 07:34

      El caso 0^0 se puede decir que es especial. La demostración que he hecho es para los número reales excepto el 0, porque si contamos que vale el 0, en algunos casos podemos llegar a un absurdo.
      La forma de enfocar 0^0 es completamente distinta. En los casos en los que es necesario se suele utilizar como resultado el 1. Te dejo un enlace a Gaussianos en el que hace la demostración de por qué es lo más coherente matemáticamente http://gaussianos.com/%C2%BFcuanto-vale-cero-elevado-a-cero-%C2%BFy-cero-factorial/
      Saludos

      Contesta

  13. Jesus

    18 septiembre, 2014 a las 09:23

    Hola, estoy de vacaciones, y me he decidido a repasar mis conocimientos de bachillerato en matemáticas, espero que mi chico llegue a esa etapa y me gustaría estar preparado para apoyarle. Como no tenía materiales he buscado, claro, por internet y he encontrado la página que mencionáis en algún comentario “vitutor”. He empezado por los números reales y al toparme con la propiedad x^0=1, al hilo de uno de los comentarios, he vuelto a revivir esa sensación de frustración al no comprender mucho de los conceptos ¡porque no me explicaban!, toda la cuestión consistía en memorizarlos y tener la “suerte” de acordarte para cuando te hiciese falta(¡pero si no los comprendía!.
    Acabo de encontrar este blog, la explicación me ha gustado y mejor aún me ha sido útil (por ahora…) y tengo esperanzas de que me se útil desde ahora para comprender más esta disciplina, aunque solo sea para el nivel de “papa que llega a casa tarde del trabajo pero ayuda al niño a resolver y comprender las matemáticas”, “o en vacaciones”.
    Siempre sorprende a quién puede servir nuestro trabajo José, Estupendo.

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    • Jose Carlos Gámez

      18 septiembre, 2014 a las 12:37

      Muchísimas gracias por tu comentario Jesus!!!
      Es que eso mismo que cuentas es para lo que me dedico a escribir este blog, que es llegar a crear interés en las matemáticas a personas que por uno u otro motivo no se han dedicado a ellas. Para matemáticos abstractos hay otro tipo de páginas.
      Así que me alegro mucho haber resuelto tu duda y de que te haya gustado :).
      Un saludo

      Contesta

  14. Antonio

    12 enero, 2015 a las 16:38

    A sido muy interesante. Me lo había explicado mi profesor pero no lo apunté y se me olvidó. Ahora me habeis refrescado la memoria, gracias.

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    • Jose Carlos Gámez

      12 enero, 2015 a las 20:50

      Gracias por tu comentario Antonio!
      Me alegro que te haya sido de utilidad.
      Un saludo

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  15. Ramón

    10 febrero, 2015 a las 20:04

    Simplemente precioso.

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    • Jose Carlos Gámez

      10 febrero, 2015 a las 20:40

  16. Diego

    20 febrero, 2015 a las 00:35

    Me gusto mucho la demostración, felicidades y muchas gracias.

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  17. CHANCALAHERA

    2 marzo, 2015 a las 19:42

    SI 2^2- 2^2=1 POR QUÉ 4 – 4= 0?

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    • Jose Carlos Gámez

      2 marzo, 2015 a las 20:37

      2^2 – 2^2 = 0

      Contesta

  18. cecilia

    19 abril, 2015 a las 17:30

    Eee me gusto pero necesito ejemplos con números
    ..

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  19. No Name

    11 septiembre, 2015 a las 20:11

    pero entonces
    1¹=1⁰, si las bases son iguales los exponentes tambien deben ser iguales, entonces 1=0. alguien me podria explicar o sacamos el 1 tambien de la lista

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  20. rodrigo navarro

    8 noviembre, 2015 a las 13:44

    Muy constructivo Graciassss

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  21. Rafa

    11 noviembre, 2015 a las 13:08

    Si no me equivoco, si tomamos 0^0 como un número en si mismo, podemos llamarlo el número a, por tanto tenemos que a = 0^0. De donde aplicando a la expresión que planteas: (0^0)/(0^0) = a / a. Matemáticas básicas, cualquier número dividido por si mismo es 1.
    Cosa diferente es que para que esto sea válido haya que demostrar que cualquier número dividido por si mismo es 1 y en cuyo caso también se excluya el 0, cosa que no recuerdo.
    Si nos salimos del campo de las matemáticas, hay que tener en cuenta que la energía ni se crea ni se destruye solo se transforma. En ese caso habría que preguntarse como se puede generar algo de la nada. Si 0/0 es 1 entonces significa que se si que se puede crear algo de la nada y la física que conocemos queda rota. Quizás la física cuántica tenga algo que decir al respecto…
    En fin, es solo un pensamiento

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  22. Luis Mejía

    12 noviembre, 2015 a las 01:59

    Hola muy buenos días, tardes o noches, donde quiera que estén 🙂 les escribo para darles las gracias por este pequeño post, cuando estudie el cole siempre vi belleza en la mate, pero me costaba atraparla, comprenderla a fondo, sacaba las notas, pero no profundizaba en ella, porque quería saber los por que y la gente solo me decía el como, a uno solo le dan los procesos mecánicos para obtener resultados y yo quería ver mas allá y la verdad también perdí el interés, por suerte tengo un gran interés en la ciencia y debido a mi hábito de lectura tengo cierta facilidad para comprender las ideas de la física, química, biología, etc. que me encantan, pero ya hace tiempo me he topado con un gran muro, comprendo la lógica detrás de un experimento o las ideas y conclusiones que nacen de el, pero cuando me topo con la mate no puedo seguir… eso me motivo a volver a estudiar mate, estoy comenzando apenas, volviendo mis pasos a las leyes básicas de los números, y tratando de comprender los por qué… y pues lento pero seguro voy avanzando, y estudiando, estudiando me topé con su blog y me gusta tanto que se preocupen en explicar las razones, en profundizar en la naturaleza de la matemática. Les agradezco mucho por la pequeña prueba que presentaron y si no fuera mucho abusar, me gustaría pedirles un consejo. ¿Qué consejo me daría para irme adentrando mas allá en el mundo de las matemáticas? Muchas gracias por su atención 🙂

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    • Jose Carlos Gámez

      12 noviembre, 2015 a las 06:57

      Me alegra mucho haberte ayudado un poquito con mi blog :).

      Respecto a profundizar en mates, yo buscaría autores de divulgación matemática, que solemos explicar cosas de matemáticas de una manera muy sencilla e intuitiva, y conforme te vayas interesando por algun resultado o alguna rama, pues hay muchísimo que leer sobre ese tema.
      Puedes consultar blogs de mates como los que enlazo en el apartado de “Blogs recomendados”. A mí me gustan mucho todos.
      Por supuesto también puedes leer libros. Cualquier libro de Adrián Paenza, Martin Gardner y, sobre todo, de Ian Stewart seguro te va a gustar.

      Un saludo.

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  23. MARTIN SOTOMAYOR

    21 noviembre, 2015 a las 15:13

    Saludos: elegante tu demostración..

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  24. Tinchin

    8 enero, 2016 a las 05:34

    Hola, gracias por tu post. Soy muy novato en las matematicas pero tengo aficion y leyendo el pequeño teorema me entró una duda: tenia entendido que en la division de potencias con igual exponente estos no se restan, sino que quedan iguales, Y para que a – a den como resultado 0 deben si o si ser iguales ¿verdad? (a menos que se tome n^a / n^-a). No se si estoy confundiendo las cosas, te agradeceria que aclares mi duda si podes. Saludos!

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    • Jose Carlos Gámez

      8 enero, 2016 a las 06:05

      Hola, se restan los exponentes cuando lo que divides son potencias de la misma base, como es este caso.
      Un saludo, y gracias por pasarte por el blog 🙂

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      • Tinchin

        9 enero, 2016 a las 06:40

        Gracias JCG. Me da un poco de verguenza, no sabia que una propiedad anulaba a la otra. ¿sabes si existe alguna otra demostracion?

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  25. cristian ortega

    5 febrero, 2016 a las 03:50

    amigo me podrias demostrar por que x a la menos 1 es igual a 1 sobre x gracias

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  26. Leonardo

    12 febrero, 2016 a las 13:56

    L a verdad es que me ha servido de mucha utilidad, porque ,mirando en otras paginas webs no las entiendo, porque lo ha puesto bastante sencillo de entender, simplemente gracias 🙂

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  27. Ronald

    31 marzo, 2016 a las 12:45

    Muy buena la pagina
    Saca de apuros …
    Saludos de Dinamarca

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    • Jose Carlos Gámez

      1 abril, 2016 a las 04:59

      ¡Muchas gracias!
      Saludos 🙂

      Contesta

  28. Aaron

    6 abril, 2016 a las 01:32

    Muy buena explicación, información concreta y sencilla de entender.
    Muchas gracias, hacen falta maestros como usted en la aulas.

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    • Jose Carlos Gámez

      6 abril, 2016 a las 08:32

      Muchas gracias Aaron. Espero haberte ayudado con el post 🙂

      Contesta

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