Potencias: ¿Por qué un número elevado a 0 es igual a 1?

Potencia0En Matemáticas Digitales llevábamos tiempo con ganas de explicar esta afirmación: ¿Por qué cuándo se eleva cualquier número a 0 el resultado es 1?

La explicación es muy sencillita, de hecho la vamos a ver ahora, pero este humilde bloguero le tiene un cariño muy especial a esta pequeña demostración.

Cuando comencé la carrera de matemáticas, hace ya 7 años, en la Universidad de Sevilla teníamos el denominado “Curso 0”. En él, se repasaban y enseñaban los conceptos matemáticos básicos que necesitaba cualquier alumno que quería afrontar con éxito el reto de llegar a ser matemático varios años después. Este pequeño curso, de aproximadamente un mes de duración, se realizaba justo antes de comenzar el curso regular y era realmente útil.

Por desgracia, todo esto lo contamos en pasado debido a que con la entrada de los nuevos planes de estudio, el Curso 0 se ha perdido. Una verdadera lástima.

¿Y qué tiene que ver todo esto con el tema que tratamos hoy? Muy sencillo. En una de las primeras clases del Curso 0 el profesor nos dejó mandado como tarea demostrar por qué un número elevado a 0 es igual a 1, y esa fue mi primera demostración en matemáticas. Fue la primera vez que sentí ese placer especial de decir “He llegado a un razonamiento que es irrefutable, y que matemáticamente nadie puede negar”. Esa sensación especial son las verdaderas matemáticas.

Pero basta de batallitas. Vamos a atacar nuestra afirmación. Si os parece, vamos a decir que es un Lema (teorema pequeñito) y lo vamos a enunciar de manera un poco más rigurosa, aunque sin utilizar mucho lenguaje matemático para que todos lo leamos bien.

Lema: Todo número real elevado a 0, excepto el propio 0, es igual a 1.

Demostraciónec5

 

Como se puede observar, excluimos el 0, entre otros motivos, porque si en la demostración tomamos x=0 y a=1, habría un paso en el que dividiríamos entre 0. Es decir, en ese caso, la operación sería equivalente a dividir entre 0, y eso ya sabemos que es una operación prohibida en matemáticas. Por lo tanto, cero elevado a cero es una indeterminación, es decir, no sabemos qué ocurre y por lo tanto no puede ser una operación definida.

Yo quizás llegué a esta conclusión algo mayor, ya en edad universitaria, pero en mi defensa he de decir que nunca tuve un profesor en el instituto que me hiciera creer en la belleza de encontrar los por qué en matemáticas. Por eso, animo a aquellos profesores y futuros profesores de secundaria, que incentivéis a vuestros alumnos para hacer estas pequeñas demostraciones porque si ello sirve para que al menos un alumno vea la belleza que se esconde tras resolver un problema así, entonces ya habréis triunfado como docentes.

@JcVirin

 

Corolario: Este post se lo quiero dedicar a José Luis Ríos por darme la idea. Nunca dejes de buscar ;-).

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17 Comentarios

  1. Antonio

    10 octubre, 2013 a las 17:02

    Una visión que no estaría de más comentar, sería la siguiente…

    http://eltopologico.blogspot.com.ar/2013/07/un-comentario-sobre-cero-la-cero.html

    En cuyo caso la ec. 5 no sería la explicación, sino más bien, la conjuntista.

    Contesta

  2. Antonio

    10 octubre, 2013 a las 17:06

    Teniéndose en cuenta este video bastante completo, a la par de la explicación conjuntista.

    Dependería del sistema que se adopte…

    Contesta

  3. Antonio

    10 octubre, 2013 a las 17:21

    Esta entrada resulta interesante

    http://gaussianos.com/video-problems-zero/

    Wolfram da por indeterminado http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%5E0

    La ec. 5 es aplicable con a no igual a cero.

    Contesta

    • Jose Carlos Gamez

      10 octubre, 2013 a las 18:09

      Es verdad que es un tema algo controvertido, que puede dar lugar a diferentes puntos de vista. Pero lo que sí es cierto, es que 0^0 está considerado por la mayoría como un valor indeterminado.
      Te dejo el enlace de la Wikipedia, en el que se hace mención a este hecho :)
      http://es.wikipedia.org/wiki/Cero#Cero_en_la_potenciaci.C3.B3n

      Contesta

      • Antonio

        10 octubre, 2013 a las 18:24

        Sí amigo.

        Cuando vi matemáticas discretas lo definían como 1, por no haber contradicción con el sistema usado. Cuando vi cálculo lo definían como indeterminado precisamente porque 0 elevado a la algo da cero si ese algo es un número distinto de cero; y algo elevado a la cero es 1 si es la base distinta de cero.

        Lo que he encontrado en las citas:

        vitutor: 0^0 es indeterminado pero su límite tiende a 1

        Topología y lógica: en teoría de conjuntos no hay contradicción con definirlo como 1, igual a 1.

        Luego entiendo que si optamos por una definición consistente con el sistema usado no habrá problema.

        Saludos!

        Contesta

      • Antonio

        10 octubre, 2013 a las 18:30

        Este es el argumento de los defensores de 1, no conjuntistas

        http://www.youtube.com/watch?v=_fl7xbakvxs

        Contesta

      • Antonio

        10 octubre, 2013 a las 18:39

        o de algunos de los que defienden el 1, porque otros se basan en este video de numberphile

        http://www.youtube.com/watch?v=BRRolKTlF6Q

        Por cierto, los dados del dibujo me han puesto a pensar, en estos días, que estaba leyendo sobre Laplace y los trés métodos… en probabilidades

        Saludos, y gracias por leer mis comentarios.

        Contesta

        • Jose Carlos Gamez

          10 octubre, 2013 a las 19:20

          De nada Antonio. Tus comentarios son siempre bienvenidos :)

          Contesta

          • Antonio

            10 octubre, 2013 a las 20:20

            Sí, amigo, muy amable…

            Fíjate unas cosas que continúo revisando…

            Sobre obtener el valor de 0^0 a través de la propiedad de la potencia con exponente una diferencia, recuerdo que las definiciones de elevar a la 1 y elevar a la 0, vienen antes de dicha propiedad, de modo que en dicho caso temo por una posibilidad de entrar en razonamiento circular.

            En lo que respecta a el valor de 0^0, por lo que he podido leer en las fuentes consultadas, yo diría que:

            En el cálculo se adopta que 0^0 es indeterminado sin caer en inconsistencias; mientras

            En la teoría de conjuntos se adopta que 0^0 es 1, sin caer en inconsistencias.

            Lo que no me convence es el video que dice darle el valor de 1 a 0^0 porque el límite de x^x tienda a 1 cuando x tienda a cero… porque ha sido necesario tomar un límite.

            Para 1/0 se obtiene una operación indefinida, si se toma el límite se sabe que tiende a +infinito cuando se llega a cero por la derecha y a -infinito cuando se llega a cero por la izquierda, pero se ha tomado un límite, el cual no existe porque no es igual por la izquierda que por la derecha, y además infinito no es un número sino un concepto.

            No así en un caso comentado donde 0.999…=1 y es una igualdad numérica no un límite que tiende a.

            De modo que estos dos artículos me dejan ver que el valor lo hayan por un límite, en cálculo, por lógica en teoría de conjuntos, pero es en principio un valor indeterminado cuando se sustituyen valores en una sucesión

            http://www.zurditorium.com/cero-elevado-a-cero-no-es-una-indeterminacion

            http://mathworld.wolfram.com/Power.html

          • Antonio

            11 octubre, 2013 a las 18:50

          • Jose Carlos Gamez

            12 octubre, 2013 a las 08:51

            Me parece que es un buen resumen de lo que has comentado aquí y en el artículo de mi admirado Gaussianos.
            Quizás Antonio, por el público objetivo de este blog, no vas a tener aquí tertulias matemáticas tan interesantes como la que he leído que has tenido en Gaussianos sobre este tema, pero se agradece que aportes tus conocimientos y buenos enlaces para quién esté interesado en profundizar más, tenga esa posibilidad.

          • Antonio

            12 octubre, 2013 a las 15:49

            Comprendo, José.

            ¡Más bien, gracias a usted por toda su receptividad!

  4. Antonio

    10 octubre, 2013 a las 18:10

    http://almargendefermat.wordpress.com/2009/12/27/%C2%BFcuanto-vale-0-elevado-a-0/

    Miren esto, solo por mencionar algo interesante y sin dejar de respetar la entrada del autor

    Contesta

  5. Antonio

    10 octubre, 2013 a las 18:17

  6. Antonio

    10 octubre, 2013 a las 21:30

    Fíjense:

    1) Una axiomática que define la cuantificación universal sobre vacío
    http://piluky.lacoctelera.net/post/2006/04/16/-el-actual-rey-francia-es-calvo-

    2) Una que no lo hace
    http://plato.stanford.edu/entries/generalized-quantifiers/#univ
    Esto en principio no pareciera tener que ver con esta entrada del blog, pero ojo!

    Contesta

  7. Antonio

    11 octubre, 2013 a las 22:09

    Sobre [latex]0^0[/latex] registrarse en este foro y leer este link permite leer interesantes comentarios

    http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70668.new#new

    Contesta

  8. Rorro

    8 febrero, 2014 a las 18:46

    Otra forma es la de sustitucion del 0 por el -1 solo se hace fraccion y se simplifica “TODO ESO SIN QUITARSE LA VIDA HACIENDO TATAS OPERACIONES”

    Contesta

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