El Hotel Infinito de Hilbert

hilbertDavid Hilbert fue un excelente matemático de finales del S.XIX y principios del XX nacido en Königsberg, la famosa ciudad del problema de los puentes. Su fama es motivada tanto por su gran aportación científica, como por su lista propuesta en 1900 de los 23 problemas sin resolver más importantes de su época, que fueron los que marcaron el rumbo de la investigación matemática durante buena parte del S.XX.

Uno de sus resultados más conocidos es su metáfora sobre un Hotel Infinito, que es la protagonista de nuestro post.

Lo primero que vamos a hacer es definir qué es un número infinito. Sin entrar en demasiada rigurosidad, y para que nos entendamos bien, un número infinito es aquel que puede ser tan grande como queramos.  Si en un papel escribimos un número muy grande, por ejemplo de mil cifras, ese número será finito porque, aunque sea muy grande, lo podemos leer (eso sí, con mucha paciencia). En cambio, si nos pusiéramos a escribir un número de una cantidad indeterminada de cifras, en el que no pararíamos nunca de escribir, ese número sí sería infinito.

Para que entendamos este concepto y algunas propiedades, Hilbert desarrolló su metáfora:

Un grupo de empresarios decide construir un hotel, de hecho quieren construir el hotel más grande del mundo. Uno de ellos propone construirlo con 1000 habitaciones, pero lo rechazan porque alguien podía construir uno con 2000 y ese ya sería más grande.

El primero vuelve a proponer un número, en este caso 100.000 habitaciones, pero vuelve a ser rechazado. Alguien podía construir un hotel con 200.000 habitaciones y entonces ya no sería el hotel más grande.

El empresario se vuelve a armar de valentía y hace su última propuesta: “Solo nos queda una opción, construyamos un hotel con infinitas habitaciones”. Nadie le pudo hacer ningún reproche, porque nadie podrá construir un hotel más grande.

infinitoUna vez inaugurado, rápidamente se llenan sus infinitas habitaciones con infinitos huéspedes. Solo había una condición: si llegaba un nuevo huésped, los demás se tendrían que cambiar de habitación para que todos entraran.

Al poco tiempo llegó una persona pidiendo una habitación libre. El recepcionista le dijo que por supuesto, que solo tenía que esperar a que los clientes se cambiaran de habitación.

El recepcionista llamó a todos los huéspedes y les dijo que miraran el número de su habitación y se mudaran a la habitación un número mayor, es decir, por ejemplo la habitación 23 pasaría a la 24 o en general la habitación n a la n+1. Como hay infinitas habitaciones, siempre va a haber un número de habitación una unidad mayor. Así la primera habitación quedaría libre y el nuevo cliente tendría donde dormir.

Esto nos hace intuir que los números naturales (1,2,3,4,…) son infinitos, porque siempre les vamos a poder sumar uno y hacerlo más grande.

Pero la historia de nuestro hotel no acaba ahí. Al poco tiempo, llegó un autobús infinito, con infinitos turistas que necesitaban infinitas habitaciones. El recepcionista para resolver el problema llamó a todos los clientes del hotel y les dijo que se cambiaran a la habitación que fuera el doble del número de la suya, es decir, por ejemplo el habitante de la habitación 23 se mudaría a la habitación 46, o en general el habitante de la habitación n a la 2n, cosa que se puede hacer porque las habitaciones son infinitas.

Si nos fijamos, 2n es un número par (cualquier número multiplicado por dos es par), entonces todas las habitaciones impares se quedaron libres y así se pudieron instalar los pasajeros del autobús infinito.

Esto nos prueba de manera intuitiva que los números pares son infinitos y que los impares también son infinitos.

Hay muchas más combinaciones posibles. ¿Te animas a compartir alguna con nosotros?

@JcVirin

3 Comments

  1. Karmela 8 Julio, 2013
    • ale 2 Febrero, 2017
  2. Antonio 9 Septiembre, 2013

Add Comment