El gran problema matemático: La Conjetura de Goldbach

Hace pocos días pudimos ver en los medios que el matemático peruano Harald Andrés Helfgott había demostrado la Conjetura Débil de Goldbach, que era un problema abierto desde 1742, y es el hermano pequeño del que con casi toda seguridad es el problema más importante de las matemáticas en la actualidad: La Conjetura de Goldbach.

Christian Goldbach

Christian Goldbach

Una conjetura es un resultado que se presupone cierto porque no se ha encontrado hasta el momento ningún contraejemplo que no lo verifique, pero que tampoco ha podido ser demostrado rigurosamente.

En muchos casos, las conjeturas suponen un gran reto para la comunidad matemática. Célebres en los últimos años son las demostraciones de la Conjetura de Poincaré, que tardó más de 100 años en poder demostrarse, o la del conocido como Último Teorema de Fermat, que fue probado casi 4 siglos después de ser enunciado.

Christian Goldbach fue un matemático prusiano del S.XVIII. Comenzó su carrera como profesor de matemáticas en San Petersburgo, y posteriormente se trasladó a Moscú para trabajar a las órdenes del Zar Pedro II.

Los resultados por los que es conocido son los siguientes:

Conjetura de Goldbach: Todo número par mayor que 2, puede ser escrito como la suma de dos números primos.

Conjetura Débil de Goldbach: Todo número impar mayor que 5, puede ser escrito como la suma de tres números primos.

Veamos unos ejemplos sencillos para aclarar los conceptos, aunque te invito a que lo hagas con cualquier número que se te ocurra:

Caso fuerte:

  • 8=3+5
  • 10=5+5 ó 10=7+3  (la descomposición no tiene por qué ser única)
  • 20=13+7
  • 554=331+223

Caso débil:

  • 9=3+3+3
  • 15=7+5+3
  • 31=17+7+7
  • 133=37+83+13

Si nos fijamos bien, la demostración del caso débil sería trivial si el primer resultado estuviera probado. Bastaría con encontrar los dos números primos que sumados dieran el número par tres unidades anterior al número impar que queremos formar, y sumarle 3 que como todos sabemos, es otro número primo. Luego, tendríamos tres números primos, cuya suma nos daría el valor impar deseado.

Pero como ya hemos dicho, la versión fuerte no ha podido ser demostrada aun, y parece ser que puede quedar mucho tiempo para que el resultado sea probado, y esta prueba no nos vale todavía. Tampoco nos vale el camino inverso, porque no hay ninguna manera (al menos conocida) de que la versión débil implique que se cumple la fuerte.

Lo que sí que se ha probado computacionalmente (mediante la ayuda de ordenadores), es que el resultado es cierto para todo número par inferior al trillón. Pero como ya hemos comentado en este blog en muchas ocasiones, los números naturales (1,2,3,…) son infinitos, y por lo tanto, un trillón es una parte muy pequeña de todos los que existen. No podemos darlo por demostrado.

@JcVirin

 

11 Comments

  1. J.Verne 3 febrero, 2014
    • Jose Carlos Gámez 4 febrero, 2014
      • Anonimo 18 febrero, 2018
        • Jose Carlos Gámez 19 febrero, 2018
    • Miguel 18 marzo, 2014
    • richy 11 enero, 2015
    • José Manuel 27 febrero, 2016
    • José Manuel 27 febrero, 2016
      • Javier Garrido 20 octubre, 2016
  2. Javier Garrido 20 octubre, 2016

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