Teorema de Pitágoras… con su demostración y todo

pitagoras1Si le preguntas a cualquier persona del mundo si conoce algún teorema matemático, probablemente esa persona te dirá que el Teorema de Pitágoras, y además puede que hasta sea valiente y lo enuncie.

Presuntamente fue descubierto y demostrado por el célebre matemático griego Pitágoras de Samos, aunque es posible que fuera obra de alguno de sus alumnos de la Orden Pitagórica en el S.VI a.C.

El teorema dice lo siguiente:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Siendo la hipotenusa el lado de mayor longitud del triángulo, y los catetos los otros dos lados restantes.TrianguloRectangulo.svg

¿Pero este resultado funciona siempre? Evidentemente sí, ya que los teoremas son resultados irrefutables siempre que ocurran en las condiciones dadas.

Pero los matemáticos y las personas que nos gustan las matemáticas no nos podemos creer las cosas así porque sí, necesitamos una demostración lógica que de verdad nos haga saber que el teorema es válido.

Existen miles de demostraciones distintas del Teorema de Pitágoras, y para este post he leído muchas buscando la mejor. Lo curioso es que mi preferida, y la que veo más adecuada para el blog, es la que conozco desde primero de carrera que me enseñaron en clase, y que es la que he utilizado siempre que me ha hecho falta.

Demostración del Teorema de Pitágoras:

Supongamos la siguiente figura, formada por cuatro triángulos rectángulos iguales, de catetos de longitud a y b, y de hipotenusa c, y un cuadrado de lado c.cuadrado

Queremos demostrar que a² + b² = c², independientemente de los valores que valgan a, b y c.

Como podemos observar, todo junto forma un cuadrado de lado (a+b). Por lo tanto, el área del cuadrado grande es A=(a+b)².

Por otro lado, al área de cada uno de los triángulos es (a*b)/2 (omitiremos el signo * a partir de ahora) y el del cuadrado pequeño es c², luego como el área del cuadrado grande es la suma de las áreas pequeñas, tenemos que

A = c² + 4(ab)/2 = c² + 2ab

Como hay dos formas distintas de expresar el mismo área (la del cuadrado grande), entonces ambas expresiones deben de ser iguales. Así que si las igualamos y operamos:

A = (a+b)² = c² + 2ab ⇔                      (Desarrollamos el producto notable (a+b)² = a² + 2ab + b²)
⇔ a² + 2ab + b² = c² + 2ab ⇔             (Podemos eliminar 2*a*b en ambos lados de la igualdad)
a² + b² = c²

Como queríamos demostrar.

Bonito ¿verdad?

La demostración que hemos hecho es analítica usando álgebra y geometría, pero como comentamos al principio, hay miles de pruebas de este teorema. No me resisto a dejaros una demostración que circula por Youtube que se realiza con agua. Es impresionante.

@JcVirin

2 Comments

  1. alumno 1 Abril, 2015
  2. José 13 Julio, 2015

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