Números perfectos

En el post de esta semana, vamos a hablar de unos números muy especiales que cumplen una propiedad maravillosa: los números perfectos.

Diremos que un número es perfecto si cumple las siguientes propiedades:

Euclides

Euclides

a)    Es un número natural (1,2,3,4,…).

b)   Dicho número es la suma de sus divisores excluyendo al propio número.

Como ejemplo, vamos a desarrollar los dos primeros números perfectos:

En primer lugar veamos que se cumple que 6=1+2+3. Como todos sabemos, los divisores de 6 son 1, 2, 3 y el propio 6, que en este caso se excluye para cumplir la propiedad de perfecto.

Por otro lado, los divisores de 28 son 1, 2, 4, 7, 14 y 28, y si nos fijamos, 28=1+2+4+7+14.

Los siguientes números perfectos son 496, 8128 y 33550336, y así hasta un total de 48 conocidos. Haríamos una lista con todos, pero es imposible, ya que por ejemplo el último de ellos posee más de doce mil cifras.

Estos números tan especiales, fueron conocidos en la Antigua Grecia por el célebre matemático Euclides, que descubrió los 4 primeros, y se dio cuenta de que cumplían la fórmula [2^(n-1)]*[(2^n)-1]:

  • Si n=2 => (2^1)*[(2^2)-1]=6
  • Si n=3 => (2^2)*[(2^3)-1]=28
  • Si n=5 => (2^4)*[(2^5)-1]=496

Si observamos, en los 3 casos, n es primo. Esto nos puede hacer pensar que siempre que n sea primo, se va a crear un número perfecto, pero esta afirmación es falsa.

Pero si nos fijamos en los que ya conocemos, tienen una característica común: son pares. Como el lector se puede imaginar, el resto de los que se conocen también son pares.

¿Entonces, todos los números perfectos son pares? ¿De hecho, solo existen esos 48 números perfectos, o hay más?

La respuesta que a día de hoy conocemos sobre estas dos cuestiones, es que no lo sabemos. Hay conjeturas que dicen que hay infinitos números perfectos, y otras que todos son pares, pero aun no hay nada demostrado al respecto, solo algunos resultados parciales.

Nuevamente hemos hablado de uno de los grandes retos abiertos de las matemáticas, en este caso con más de 2300 años de estudios que siguen sin darnos una respuesta, pero que seguro llegará algún día. En eso reside la belleza de las matemáticas, en que podemos explicar lo que ha sido un misterio durante mucho tiempo.

@JcVirin

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