La Recta de Euler

leonhard euler¡Qué grande fue Leonhard Euler y qué enorme fue su legado!

En este humilde blog de mates hemos hablado ya en varias ocasiones de este genio de las matemáticas como por ejemplo su protagonismo en un billete suizo (su tierra natal) o sobre la ceguera que le acompañó gran parte de su vida.

Pero en este post vamos a hablar de uno de los múltiples resultados matemáticos que Euler demostró y que además lleva su nombre: La Recta de Euler.

Una recta es un conjunto infinito de puntos que se encuentran alineados, están unidos y cuya longitud es infinita. Además, la dimensión 1 es aquella que está compuesta en su totalidad por una recta.

Pues bien, es de sobra conocido que para construir una recta hacen falta tan solo dos puntos, aunque como bien hemos mencionado antes contienen infinitos puntos y por lo tanto si tres puntos se encuentran alineados también formarán una recta.

Como demostró Leonhard Euler en 1765, tres puntos tan particulares como son el ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo, siempre están alineados, y la recta que pasa por ellos es la que da título a nuestro post.

¿Pero qué son el ortocentro, el baricentro y el circuncentro? Vamos a verlo:

Ortocentro:
Es el punto de corte de las alturas de un triángulo. Las alturas son las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el vértice contrario.

Siempre estas tres rectas se cortan en un solo punto, cosa que no es tan trivial.Ortocentro

Baricentro:

Es el punto de corte de las medianas de un triángulo. Las medianas son las rectas que pasan por el centro de cada lado del triángulo y corta al vértice contrario.

Tampoco es trivial, pero estas tres rectas también se cortan siempre en un solo punto.Baricentro

Circuncentro:

Es el punto de corte de las mediatrices de un triángulo. Las mediatrices son las rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el centro del mismo.

Como en los casos anteriores, solo se obtiene un punto.

Además, cuando se traza una circunferencia de centro circuncentro y radio hasta cualquiera de los vértices, se obtiene una circunferencia en la que está contenido el triángulo y además los vértices pertenecen a la propia circunferencia.Circuncentro

Pues ahora que ya conocemos a los protagonistas, se puede comprobar que siempre están alineados. En la imagen la Recta de Euler es la que está dibujada en amarillo y que efectivamente une los tres puntos anteriormente descritos.Recta de Euler

Este resultado de geometría es realmente bonito, y para seros sinceros, es uno de los que más me fascinan en matemáticas por la gran cantidad de elementos importantes de geometría que relaciona.

@JcVirin

5 Comments

  1. Alfredo 28 enero, 2015
    • Jose Carlos Gámez 28 enero, 2015
  2. Juan Carlos Guilarte Rangel 6 julio, 2016
    • Jose Carlos Gámez 7 julio, 2016
  3. Pedro Treviño 12 marzo, 2018

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