¿Cuántos números primos existen?

euclides fotoHacía tiempo que tenía muchas ganas de escribir este post. En él vamos a hablar de un resultado clásico y muy conocido, pero que por su sencillez e importancia es una de esas demostraciones elegantes que todo matemático adora, y que además es muy entendible para toda persona que tenga curiosidad por este mundillo.

En primer lugar vamos a recordar que un número es primo cuando es un número natural mayor que 1 que solo tiene dos divisores naturales: el propio número y el 1. Cuando un número no es primo se le denomina número compuesto.

Son números primos el 2, 3, 5, 7, 11,… Pero también números más grandes como 991, 1699 ó 9613 por poner algunos ejemplos. Como curiosidad cabe destacar que el mayor número primo conocido por el ser humano hasta el día de hoy consta de más de 17 millones de dígitos.

Claro, si nos paramos a pensar en lo anterior, hay muchísimos números que cumplen esta condición tan especial. Entonces es lógico que nos preguntemos: ¿Cuántos números primos hay?, ¿Serán infinitos o se acabarán en algún momento?

Bueno, lo que os voy a descubrir tengo que reconocer que no es algo nuevo. De hecho, esto ya lo respondió Euclides en el Siglo III a.C., mediante una preciosa demostración en sus conocidísimos Elementos (por cierto, el segundo libro más vendido de la historia).

En su demostración Euclides prueba que, efectivamente, existen infinitos números primos.

Esta es la demostración:

Supongamos que existe un número finito de números primos, entonces podríamos escribir una lista con todos esos valores que serían de forma genérica P1, P2, P3,…,Pn.

Con todos esos números podríamos crear un nuevo valor, llamado K, que fuera simplemente el producto de todos los números primos del listado, y al resultado sumarle 1. Es decir:

K=(P1·P2·P3·…·Pn)+1

Ahora existen dos opciones, ó K es un número primo ó es un número compuesto.

Si K es primo, entonces la lista anterior era incompleta, puesto que en ella no estaban todos los números primos.

Si K no es primo, entonces necesariamente tiene que ser divisible por un número primo menor que él. Pero si se divide K entre cualquier número primo de la lista anterior (supuestamente todos), ocurre que siempre queda de resto 1. Por lo que debe de existir algún primo que no estuviera en la lista, y por tanto la misma estaría incompleta.

Estas dos conclusiones nos llevan a lo que en matemáticas se llama una contradicción, que es llegar a algo imposible a partir de nuestra hipótesis. Y como es imposible, se demuestra lo contrario de lo que habíamos supuesto, es decir, queda demostrado que existen infinitos números primos.

@JcVirin

3 Comments

  1. Alfredo 13 Enero, 2016
    • Jose Carlos Gámez 15 Enero, 2016
  2. javier 11 Junio, 2016

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